1. TIPOS DE MOVEMENTOS
2. MOVEMENTO RECTILÍNEO UNIFORME
3. GRÁFICAS DO M.R.U.
4. PROBLEMAS DE ALCANCES E CRUCES NO M.R.U.
5. MOVEMENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
6. GRÁFICAS DO M.R.U.A.
7. MOVEMENTO VERTICAL
8. CONVENIO DE SIGNOS
9. COMPOSICIÓN DE MOVEMENTOS
10. MOVEMENTO CIRCULAR UNIFORME
11. MOVEMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO
12. MOVEMENTO HARMÓNICO SIMPLE
    

   Falando de movementos, quizá non houbo movemento máis grande na historia que levar a un home á Lúa. Tan extraordinario parece que algúns aínda o negan. Sen o esforzo de moitísimas persoas non foi posible. En plena guerra fría entre os dous grandes bloques non se escatimaron esforzos. E entre estes destaca o esforzo e empeño dun grupo de mulleres afroamericanas, chamadas as Colored Computers (computadoras negras). Nunha época previa aos ordenadores adicábanse a facer todo tipo de cálculos matemáticos sen os cales non sería posible a carreira espacial como a coñecemos. Tres destas mulleres matemáticas: Katherine Johnson, Dorothy Vaughan e Mary Jackson, foi levada ao cine en 2016 en Hidden Figures (Figuras ocultas), baseada no libro de non ficción do mesmo nome de Margot Le Shetterly. O seguinte documental recórdanos a vida dunha delas, Katherine Johnson.

   Para valorar o mérito destas mulleres é preciso lembrar as dificultades que tiñan naquela época as mulleres para acceder á universidade, algunhas nin o permitían, e se eran negras debían ir a centros para negros. As barreiras que tiveron que rachar estaban á altura da dificultade de levar o home á Lúa. Quizá debésemos dicir que levamos o home á Lúa aos ombreiros destas extraordinarias mulleres.

TIPOS DE MOVEMENTOS

Observa este vídeo, é a carreira máis rápida da historia, nela Usain Bolt bateu o récord mundial de 100m lisos, era o 16 de agosto de 2009 nos campionatos mundiais de atletismo en Berlín.

En calquera movemento complexo podemos atopar tramos que pertencen a algún destes movementos máis sinxelos:

• Movemento rectilíneo uniforme (MRU).
• Movemento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).
• Movemento circular uniforme (MCU).
• Movemento circular uniformemente acelerado (MCUA).
• Movemento harmónico simple (MAS).

MOVEMENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Movemento rectilíneo uniforme (MRU) é aquel que ten o vector velocidade constante. O módulo, a dirección e o sentido do vector velocidade son constantes, polo tanto, a súa traxectoria será recta.

Neste movemento só temos unha ecuación, que relaciona: posicións, inicial e final, instantes, inicial e final, e a velocidade. Esta ecuación é semellante á da velocidade media, xa que si a velocidade é constante coincide tamén coa velocidade media. A ecuación vectorial é:

Nesta ecuación están todas as variables a ter en conta neste movemento. Temos xa que logo unha soa ecuación.

A expresión que nos dá a posición en función do tempo é a ecuación do movemento. Xa que se lle damos valores ao tempo obtemos os valores das posicións por onde pasa o móbil.

Como a traxectoria é unha recta podemos traballar con escalares sobre o eixe X.

A ecuación do movemento con valores escalares é:

Fíxate que só temos unha ecuación, na que debemos saber despexar calquera das variables. Para a resolución de problemas será moi útil facer un debuxo esquemático onde colocar os datos, distinguindo ben que datos son iniciais e que datos son finais.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: MOVEMENTO RECTILÍNEO UNIFORME

EXERCICIO 1: Na simulación anterior fixa unha velocidade e unha posición inicial. Dalle a "comenzar". Cos datos conseguidos representa a gráfica x-t (x en ordenadas e t en abscisas)

GRÁFICAS DO M.R.U.

A gráfica posición-tempo ou gráfica x-t

É unha función lineal. A medida que pasa o tempo a posición varía dunha forma proporcional. En tempos iguais percórrense distancias iguais. Fíxate como nesta gráfica cada 5 segundos percórrense 20 metros. A pendente é constante, como a velocidade.

Se tomamos un intervalo calquera, por exemplo, de 5 a 15 segundos, o triángulo formado pola variación da distancia, a variación do tempo e a gráfica permítenos calcular a velocidade. A altura, ou variación da distancia, Δx = x−x_o = 60m−20m = 40m, entre a base, ou variación do tempo, Δt = t−t_o = 15s−5s = 10s, dános a pendente, 4m/s, que é a velocidade. v = Δx/Δt = 40m/10s = 4m/s

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: MRU - GRÁFICA POSICIÓN-TEMPO

EXERCICIO 2: Na simulación fixa unha velocidade. Elabora unha táboa de datos x-t, dándolle a "play" e "pausa" repetidamente. Representa a gráfica cos valores da táboa.

A gráfica velocidade-tempo ou gráfica v-t

É unha función constante. Para calquera instante a velocidade é 4m/s.

Para calquer intervalo de tempo a área baixo a gráfica velocidade-tempo danos a distancia percorrida no mesmo.

Neste caso a área é un rectángulo, o producto da base pola altura danos a distancia percorrida. x - x_o = v (t - t_o)

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: MRU - GRÁFICA VELOCIDADE-TEMPO

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

PROBLEMAS DE ALCANCES E CRUCES NO M.R.U.

Hai dous tipos de problemas: de alcances, se os dous móbiles seguen o mesmo sentido, de cruces cando os dous móbiles teñen sentidos contrarios.

O primeiro é facer o esquema cos datos do problema. Escolle unha orixe de posicións e unha orixe de tempos. Isto é moi importante. Estas orixes son arbitrarias, pero tes que telas claras xa que todos os tempos débense de contar a partir da orixe de tempos, e todas as posicións débense de contar a partir da orixe de posicións que escollas.

Ten en conta, tamén, o signo das velocidades. Se teñen distinto sentido, teñen distinto signo.

Substitúe os datos na ecuación do movemento para cada móbil. x = x_o + v (t − t_o)

Tes dúas ecuacións, con dúas incógnitas, que son normalmente, o instante en que se alcanzan ou cruzan, t, e a posición na que o fan, x.

Esquema para un problema de alcance:

Gráfica para un problema de alcance:

Móbil azul: Cal é a súa posición inicial, x_o? x_o=0 Cal é o instante inicial, t_o? t_o=0 Cal é a súa velocidade, v_azul? v_azul=4m/s

Móbil vermello: Cal é a súa posición inicial, x_o? x_o=30m Cal é o instante inicial, t_o? t_o=0 Cal é a súa velocidade, v_vermello? v_vermello=2m/s

x = x_o + v (t − t_o)

Móbil azul x= 0 + 4 (t − 0) = 4 t

Móbil vermello x= 30 + 2 (t − 0) = 30 + 2 t

Resolvemos o sistema de dúas ecuacións con dúas incógnitas

4 t = 30 + 2 t        4 t - 2t = 30       2t = 30       t = 30/2 = 15s (é o instante en que se alcanzan, medido dende que saen os móbiles)

Con este valor de t substituímos en calquera das ecuacións: x= 4 t = 4 m/s · 15s = 60m (é a posición á que se alcanzan, medida dende a orixe de coordenadas)

Esquema para un problema de cruce:

Gráfica para un problema de cruce:

Móvil azul: Cal é a súa posición inicial, x_o? x_o=70m Cal é o instante inicial, t_o? t_o=0 Cal é a súa velocidade, v_azul? v_azul=−5m/s (atención é negativa xa que se acerca ao orixe de coordenadas)

Móvil vermello: Cal é a súa posición inicial, x_o? x_o=10m Cal é o instante inicial, t_o? t_o=0 Cal é a súa velocidade, v_vermello? v_vermello=4m/s

x = x_o + v (t − t_o)

Móvil azul x= 70 − 5 (t − 0) = 70 − 5 t

Móvil vermello x= 10 + 4 (t − 0) = 10 + 4 t

Resolvemos o sistema de dúas ecuacións con dúas incógnitas

10 + 4 t = 70 - 5 t       4 t + 5t = 70 - 10         9t = 60       t = 60/9 = 6,67s (é o instante en que se alcanzan, medido dende que saen os móbiles)

Con este valor de t substituímos en calquera das ecuacións: x= 10 + 4 t = 10m + 4 m/s · 6,67s = 36,68m (é a posición á que se alcanzan, medida dende a orixe de coordenadas)

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

MOVEMENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Movemento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) é aquel que ten o vector aceleración constante e a traxectoria é unha liña recta.

Para describir este movemento necesitamos só dúas ecuacións. A ecuación da aceleración, que relaciona aceleración, velocidades e tempo, e a ecuación da posición que relaciona posicións, velocidade inicial, aceleración e tempos.

Ecuación da aceleración:

Ecuación da posición:

Logo veremos como podemos deducir gráficamente esta ecuación.

Destas dúas podemos deducir outra ecuación moi práctica que relaciona velocidades, aceleración e posicións. Dedúcese despexando o tempo na ecuación da aceleración e substituíndoo na ecuación da posición. Dedución.

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

GRÁFICAS DO M.R.U.A.

As gráficas v-t representan as velocidades en ordenadas e os tempos en abscisas.

A pendente desta gráfica é a aceleración, se a pendente é constante deducimos que a aceleración é constante. Se a pendente é positiva o móbil aumenta a velocidade, se é negativa diminúe a velocidade.

A área baixo esta gráfica dános a distancia percorrida polo móbil.

Temos dúas áreas, un rectángulo e un triángulo.

(x - x_o) = v_o(t - t_o) + ½ (v -v_o) (t - t_o)

Como: v - v_o = a(t - t_o)

(x - x_o) = v_o(t - t_o) + ½ a(t - t_o) (t - t_o)

(x - x_o) = v_o(t - t_o) + ½ a(t - t_o)²

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: MRUA - GRÁFICA VELOCIDADE-TEMPO

EXERCICIO 3: Na simulación fixa unha aceleración. Elabora unha táboa de datos v-t, dándolle a "play" e "pausa" repetidamente. Representa a gráfica cos valores da táboa.

A gráfica x-t é unha parábola, a forma curva da mesma indica que varía a pendente, varía a velocidade, dado que é un movemento con aceleración.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: MRUA - GRÁFICA POSICIÓN-TEMPO

EXERCICIO 4: Na simulación fixa unha aceleración. elabora unha táboa de datos x-t, dándolle a "play" e "pausa" repetidamente. Representa a gráfica cos valores da táboa.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: GRÁFICAS MOVEMENTOS

EXERCICIO 5: Observa as diferentes gráficas dos diferentes tipos de movementos que estudiamos.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: LABORATORIO VIRTUAL DE CINEMÁTICA

EXERCICIO 6: Na simulación fixa unha aceleración, unha velocidade inicial e unha posición inicial nas gráficas. Observa como varían estas magnitudes unha vez iniciado o movemento. Fíxate como cambian as gráficas ao cambiar o signo das magnitudes.

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

MOVEMENTO VERTICAL

Un exemplo de MRUA é o movemento vertical. Neste movemento podemos considerar o movemento de caída libre, o movemento de lanzamento vertical cara abaixo ou o movemento de lanzamento vertical cara arriba. Nestes movementos a aceleración é a aceleración da gravidade, g = 9,8m/s², que podemos considerar constante na superficie da Terra.

Sabemos que isto só é verdade no baleiro, ou cando a resistencia do aire sexa nula. Para corpos pesados podemos considerar que a resistencia do aire é despreciable, pero non para corpos lixeiros ou de gran superficie, como unha pluma ou unha folla de papel. Pero si fas unha bóla con esa folla de papel podes comprobar que cae coa mesma aceleración que os corpos pesados.

Universo Mecánico - 2 - A lei de caída dos corpos

Debemos definir nestes problemas o sistema de referencia. Podemos escoller calquera punto como orixe do sistema de referencia e calquera sentido como positivo ou negativo, pero isto vai condicionar o valor das velocidades, distancias e aceleración.

Pode ser moi útil escoller como orixe do sistema de referencia o punto máis baixo que alcanza o móbil, como o chan. O eixe vertical será o eixe de alturas. Por encima da orixe temos alturas positivas e por baixo da orixe alturas negativas. As velocidades cara arriba son positivas, pois aumentan as posicións, e as velocidades cara abaixo son negativas, pois diminúen as posicións. A aceleración ten sentido vertical cara abaixo, pois aumentan neste sentido as velocidades, xa que logo a aceleración terá signo negativo.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: CAÍDA LIBRE

EXERCICIO 7: Na simulación fixa unha cronografía, que che da o número de imaxes por segundo que se observan. Dalle a soltar, e co medidor de alturas confecciona a gráfica posición-tempo. Representa a gráfica posición-tempo cos datos obtidos.

CONVENIO DE SIGNOS

Da mesma forma é importante ter un criterio de signos claro. Tanto posicións como velocidades e aceleraciones poden ser positivas ou negativas, debemos saber distinguilas en cada caso. 

As posicións representámolas nun eixe. A partir dunha orixe, podémonos mover nun sentido ou en sentido contrario. Arbitrariamente escollemos un sentido como positivo e o contrario como negativo. Como a orixe de coordenadas podémola colocar onde queiramos é moi útil colocala nun lugar que faga que todas as posicións sexan positivas, para evitar os números negativos.

As velocidades poden ser positivas ou negativas. Tendo en conta a ecuación da velocidade, as velocidades que fagan afastarse o móbil da orixe de coordenadas serán positivas e as velocidades que fagan achegarse o móbil á orixe de coordenadas serán negativas. Traballando con valores positivos das posicións, se o sentido do vector velocidade é afastarse da orixe de coordenadas son positivas, se é achegarse á orixe de coordenadas son negativas.

As aceleracións tamén poden ser positivas ou negativas. Tendo en cuenta a ecuación da aceleración, as aceleracións teñen o mesmo sentido que o aumento da velocidade. Se a velocidade aumenta cara abaixo, a aceleración ten sentido cara abaixo, ten o mesmo sentido. Pero será positiva ou negativa? Pois depende de onde estea a orixe de coordenadas. Se a orixe de coordenadas está no punto máis baixo e a velocidade aumenta cara á orixe de coordenadas, as velocidades cara abaixo serán negativas e as velocidades cara arriba positivas, como a aceleración ten o mesmo sentido que o aumento de velocidade, se a velocidade aumenta cara abaixo, e as velocidades cara abaixo son negativas, pois achegan o móbil á orixe de coordenadas, a aceleración será tamén negativa. Pero se a orixe de coordenadas está nun punto alto, e as posicións debaixo desta orixe considerámolas positivas, as velocidades cara abaixo aumentan e son positivas, e a aceleración ten este mesmo sentido cara abaixo, e por tanto será positiva. Por iso é tan importante facer un esquema do problema e ser consecuente con el. Lembra que o signo de velocidades e aceleracións só nos informa do sentido destas magnitudes vectoriais.

Algúns casos podémolos representar neste esquema para movementos horizontais e verticais.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: CAIDA LIBRE, GRÁFICAS

EXERCICIO 8: Na simulación fixa unha posición inicial. Debuxa un esquema coas gráficas que se deben obter. Dalle a soltar, observa as gráficas e compáraas coas que debuxaches.

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

COMPOSICIÓN DE MOVEMENTOS

A posición e velocidade en cada punto será a resultante desas magnitudes en cada un dos movementos. Por iso debemos ter moi claro cales son eses movementos que se compoñen xa que cada un terá as súas respectivas ecuacións.

Composición de dous MRU perpendiculares:

Dáse por exemplo cando unha barca cruza un río con corrente constante. Si a barca desprázase perpendicularmente á dirección da corrente con velocidade constante, a posición da barca e a súa velocidade calcularase a través da composición de ambos movementos.

v_x é a velocidade da corrente e v_y a velocidade perpendicular da barca. A velocidade v calculámola en función das compoñentes v_x e v_y.

O tempo t que tarda a barca en cruzar o río calculámolo a través do movemento sobre o eixe Y xa que coñecemos o ancho do río.

Este mesmo tempo permítenos calcular a coordenada x, e con esta a distancia r que percorre a barca para cruzar o río.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: CRUZAR UN RÍO

EXERCICIO 9: Na simulación fxa a velocidade da corrente, a velocidade da moto e a dirección da proa. Se o ancho do río é 110m, calcula primeiro o tempo que tarda en cruzar o río e a distancia río abaixo á que cruza. Logo confirma os resultados coa aplicación.

Movemento parabólico:

Este movemento dáse cando lanzamos un corpo cunha dirección que non sexa vertical. En vertical o movemento é uniformemente acelerado e en horizontal é un movemento uniforme.

As posicións e velocidades horizontales calculámolas a través das ecuacións do MRU, e as posicións e velocidades verticais calculámolas a través das ecuacións do MRUA. Este movemento ten unha aceleración que é g = −9,8m/s².

Para calcular o tempo de voo utilizamos o movemento vertical uniformemente acelerado, sabendo que cando chega ao chan y = 0.

Para calcular o alcance utilizamos o tempo de voo no movemento horizontal uniforme.

Para calcular a altura máxima, y_max, utilizamos o movemento vertical uniformemente acelerado, sabendo que na altura máxima v_y = 0.

SIMULACIÓN UNIVERSIDADE DE COLORADO: MOVEMENTO DUN PROXECTIL

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: TIRO PARABÓLICO

EXERCICIO 10: Na simulación fixa a velocidade e o ángulo coa horizontal. Calcula primeiro a altura máxima, o alcance e el tempo de voo. Logo confirma os resultados coa aplicación.

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

MOVEMENTO CIRCULAR UNIFORME

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU): un movemento é circular uniforme cando a traxectoria é unha circunferencia e a velocidade angular é constante.

Para describir este movemento podemos utilizar a distancia sobre o arco ou os ángulos que percorre o móbil. Os ángulos podémolos medir en graos sexaxesimais ou en radiáns. 

Un radián é un ángulo cun arco equivalente ao radio.

A cantos radiáns equivale a circunferencia completa? Lembra esta equivalencia.

Neste movemento podemos utilizar dúas fórmulas para calcular a velocidade, unha é a velocidade lineal en función do arco percorrido e outra é a velocidade angular en función do ángulo percorrido.

Velocidade lineal: é o cociente entre a distancia percorrida polo móbil sobre a circunferencia e o tempo empregado.

Velocidade angular: é o cociente entre o ángulo virado polo móbil con respecto ao centro da circunferencia e o tempo empregado.

Dela deducimos a ecuación do movemento:

Equivalencia entre a velocidade lineal e angular

Universo Mecánico - 9 - O círculo en Movemento

EXERCICIOS PARA PRACTICAR

MOVEMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO

Necesitamos outra ecuación para as posicións angulares:

Estas ecuacións son similares ás do MRUA con magnitudes angulares. Despexando o tempo na primeira e substituíndoo na segunda temos:

MOVEMENTO HARMÓNICO SIMPLE

Cando un movemento oscilatorio podémolo representar por unha función seno ou coseno atopámonos cun movemento que chamamos harmónico. Dentro destes movementos estudaremos o Movemento Harmónico Simple (MHS), que se axusta a moitos movementos que atopamos na natureza.

Cando un móbil desprázase sobre o eixe X oscilando sobre a orixe de coordenadas dise que describe un movemento harmónico simple cando a súa posición vén dada pola seguinte función:

x é a elongación, dános a posición do móbil en calquera instante t.

A é a amplitude, é o valor da elongación máxima.

φ y φ₀ son a fase e a fase inicial, mídense en radiáns. φ=ω·t+φ₀.

ω , mídese en rad/s. Está relacionada con outras dúas magnitudes importantes: ω=2π/T=2π·f

T é o período. Tempo correspondente a unha oscilación completa. Mídese en segundos.

f é a frecuencia. Representa o número de oscilacións por segundo. Mídese en hertzs o s^-1.

Imaxinemos un corpo que oscila entre dúas posicións A e -A.

A velocidade calculámola derivando a función que nos dá a posición.

Como o seno ou o coseno oscilan entre 1 e -1, o valor máximo que pode alcanzar a velocidade é:

Podemos atopar unha expresión que nos relaciona a velocidade coa elongación:

Para calcular a aceleración derivamos a función da velocidade: