1. TIPOS DE MOVIMIENTOS
2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
3. GRÁFICAS DEL M.R.U.
4. PROBLEMAS DE ALCANCES Y CRUCES EN EL M.R.U.
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
6. GRÁFICAS DEL M.R.U.A.
7. MOVIMIENTO VERTICAL
8. CONVENIO DE SIGNOS
9. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
10. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
11. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO
12. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
    

   Hablando de movimientos, quizá no hubo movimiento más grande en la historia que llevar a un hombre a la Luna. Tan extraordinario parece que algunos aún lo niegan. Sin el esfuerzo de muchísimas personas no hubiera sido posible. En plena guerra fría entre los dos grandes bloques no se escatimaron esfuerzos. Y entre estos destaca el esfuerzo y empeño de un grupo de mujeres afroamericanas, llamadas las Colored Computers (computadoras negras). En una época previa a los ordenadores se dedicaban a hacer todo tipo de cálculos matemáticos sin los cuales no sería posible la carrera espacial como la conocemos. Tres de estas mujeres matemáticas: Katherine Johnson, Dorothy Vaughan y Mary Jackson, fue llevada al cine en 2016 en Hidden Figures (Figuras ocultas), basada en el libro de no ficción del mismo nombre de Margot Lee Shetterly. El siguiente documental nos recuerda la vida de una de ellas, Katherine Johnson.

   Para valorar el mérito de estas mujeres es preciso recordar las dificultades que tenían en aquella época las mujeres para acceder a la universidad, algunas ni lo permitían, y si eran negras debían de ir a centros para negros. Las barreras que tuvieron que romper estaban a la altura de la dificultad de llevar el hombre a la Luna. Quizá debiéramos decir que llevamos el hombre a la Luna a hombros de estas extraordinarias mujeres.

TIPOS DE MOVIMIENTOS

Observa este vídeo, es la carrera más rápida de la historia, en ella Usain Bolt batió el récord mundial de 100m lisos, era el 16 de agosto de 2009 en los campeonatos mundiales de atletismo en Berlín.

En cualquier movimiento complejo podemos encontrar tramos que pertenecen a alguno de estos movimientos más sencillos:

• Movimiento rectilíneo uniforme. (MRU)
• Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. (MRUA)
• Movimiento circular uniforme (MCU).
• Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA).
• Movimiento armónico simple (MAS).

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

En este movimiento sólo tenemos una ecuación, que relaciona: posiciones, inicial y final, instantes, inicial y final, y la velocidad. Esta ecuación es semejante a la de la velocidad media, ya que si la velocidad es constante coincide también con la velocidad media. La ecuación vectorial es:

En esta ecuación están todas las variables a tener en cuenta en este movimiento. Tenemos por tanto una sola ecuación.

La expresión que nos da la posición en función del tiempo es la ecuación del movimiento. Ya que si le damos valores al tiempo obtenemos los valores de las posiciones por donde pasa el móvil.

Como la trayectoria es una recta podemos trabajar con escalares sobre el eje X.

La ecuación del movimiento con valores escalares es:

Fíjate que sólo tenemos una ecuación, en la que debemos saber despejar cualquiera de las variables. Para la resolución de problemas será muy útil hacer un dibujo esquemático donde colocar los datos, distinguiendo bien que datos son iniciales y que datos son finales.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

EJERCICIO 1: En la simulación anterior fija una velocidad y una posición inicial. Dale a "comenzar". Con los datos conseguidos representa la gráfica x-t (x en ordenadas y t en abscisas)

GRÁFICAS DEL M.R.U.

Es una función lineal. A medida que pasa el tiempo la posición varía de una forma proporcional. En tiempos iguales se recorren distancias iguales. Fíjate como en esta gráfica cada 5 segundos se recorren 20 metros. La pendiente es constante, como la velocidad.

Si tomamos un intervalo cualquiera, por ejemplo, de 5 a 15 segundos, el triángulo formado por la variación de la distancia, la variación del tiempo y la gráfica nos permite calcular la velocidad. La altura, o variación de la distancia, Δx = x−x_o= 60m−20m = 40m, entre la base, o variación del tiempo, Δt = t−t_o = 15s−5s = 10s, nos da la pendiente, 4m/s, que es la velocidad. v = Δx/Δt = 40m/10s = 4m/s

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: MRU - GRÁFICA POSICIÓN-TIEMPO

EJERCICIO 2: En la simulación fija una velocidad. Elabora una tabla de datos x-t, dándole a "play" y "pausa" repetidamente. Representa la gráfica con los valores de la tabla.

La gráfica velocidad-tiempo o gráfica v−t

Es una función constante. Para cualquier instante la velocidad es 4m/s.

Para cualquier intervalo de tiempo el área bajo la gráfica velocidad-tiempo nos da la distancia recorrida en el mismo.

En este caso el área es un rectángulo, el producto de la base por la altura nos da la distancia recorrida. x - x_o = v (t - t_o)

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: MRU - GRÁFICA VELOCIDAD-TIEMPO

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

PROBLEMAS DE ALCANCES Y CRUCES EN EL M.R.U.

Lo primero es hacer el esquema con los datos del problema. Escoge un origen de posiciones y un origen de tiempos. Esto es muy importante. Estos orígenes son arbitrarios, pero tienes que tenerlos claros ya que todos los tiempos se deben de contar a partir del origen de tiempos, y todas las posiciones se deben de contar a partir del origen de posiciones que escojas.

Ten en cuenta, también, el signo de las velocidades. Si tienen distinto sentido, tienen distinto signo.

Sustituye los datos en la ecuación del movimiento para cada móvil. x = x_o + v (t − t_o)

Tienes dos ecuaciones, con dos incógnitas, que son normalmente, el instante en que se alcanzan o cruzan, t, y la posición en la que lo hacen, x.

Esquema para un problema de alcance:

Gráfica para un problema de alcance:

Móvil azul: ¿Cuál es su posición inicial, x_o? x_o=0 ¿Cuál es el instante inicial, t_o? t_o=0 ¿Cuál es su velocidad, v_azul? v_azul=4m/s

Móvil rojo: ¿Cuál es su posición inicial, x_o? x_o=30m ¿Cuál es el instante inicial, t_o? t_o=0 ¿Cuál es su velocidad, v_rojo? v_rojo=2m/s

x = x_o + v (t − t_o)

Móvil azul x= 0 + 4 (t − 0) = 4 t

Móvil rojo x= 30 + 2 (t − 0) = 30 + 2 t

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

4 t = 30 + 2 t        4 t - 2t = 30       2t = 30       t = 30/2 = 15s (es el instante en que se alcanzan, medido desde que salen los móviles)

Con este valor de t sustituimos en cualquiera de las ecuaciones: x= 4 t = 4 m/s · 15s = 60m (es la posición a la que se alcanzan, medida desde donde sale el móvil azul)

Esquema para un problema de cruce:

Gráfica para un problema de cruce:

Móvil azul: ¿Cuál es su posición inicial, x_o? x_o=70m ¿Cuál es el instante inicial, t_o? t_o=0 ¿Cuál es su velocidad, v_azul? v_azul=−5m/s (atención es negativa ya que se acerca al origen de coordenadas)

Móvil rojo: ¿Cuál es su posición inicial, x_o? x_o=10m ¿Cuál es el instante inicial, t_o? t_o=0 ¿Cuál es su velocidad, v_rojo? v_rojo=4m/s

x = x_o + v (t − t_o)

Móvil azul x= 70 − 5 (t − 0) = 70 − 5 t

Móvil rojo x= 10 + 4 (t − 0) = 10 + 4 t

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

10 + 4 t = 70 - 5 t       4 t + 5t = 70 - 10         9t = 60       t = 60/9 = 6,67s (es el instante en que se alcanzan, medido desde que salen los móviles)

Con este valor de t sustituimos en cualquiera de las ecuaciones: x= 10 + 4 t = 10m + 4 m/s · 6,67s = 36,68m (es la posición a la que se alcanzan, medida desde el origen de coordenadas)

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Para describir este movimiento necesitamos sólo dos ecuaciones. La ecuación de la aceleración, que relaciona aceleración, velocidades y tiempo, y la ecuación de la posición que relaciona posiciones, velocidad inicial, aceleración y tiempos.

Ecuación de la aceleración:

Ecuación de la posición:

Luego veremos como podemos deducir gráficamente esta ecuación.

De estas dos podemos deducir otra ecuación muy práctica que relaciona velocidades, aceleración y posiciones. Se deduce despejando el tiempo en la ecuación de la aceleración y sustituyéndolo en la ecuación de la posición. Deducción.

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

GRÁFICAS DEL M.R.U.A.

Las gráficas v−t representan las velocidades en ordenadas y los tiempos en abscisas. 

La pendiente de esta gráfica es la aceleración, si la pendiente es constante deducimos que la aceleración es constante. Si la pendiente es positiva el móvil aumenta la velocidad, si es negativa disminuye la velocidad.

El área bajo esta gráfica nos da la distancia recorrida por el móvil.

Tenemos dos áreas, un rectángulo y un triángulo.

(x - x_o) = v_o(t - t_o) + ½ (v -v_o) (t - t_o)

Como: v - v_o = a(t - t_o)

(x - x_o) = v_o(t - t_o) + ½ a(t - t_o) (t - t_o)

(x - x_o) = v_o(t - t_o) + ½ a(t - t_o)²

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: MRUA - GRÁFICA VELOCIDAD-TIEMPO

EJERCICIO 3: En la simulación fija una aceleración. Elabora una tabla de datos v-t, dándole a "play" y "pausa" repetidamente. Representa la gráfica con los valores de la tabla.

La gráfica x−t es una parábola, la forma curva de la misma indica que varía la pendiente, varía la velocidad, dado que es un movimiento con aceleración.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: MRUA - GRÁFICA POSICIÓN-TIEMPO

EJERCICIO 4: En la simulación fija una aceleración. elabora una tabla de datos x-t, dándole a "play" y "pausa" repetidamente. Representa la gráfica con los valores de la tabla.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: GRÁFICAS MOVIMIENTOS

EJERCICIO 5: Observa las diferentes gráficas de los diferentes tipos de movimientos que estudiamos.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: LABORATORIO VIRTUAL DE CINEMÁTICA

EJERCICIO 6: En la simulación fija una aceleración, una velocidad inicial y una posición inicial en las gráficas. Observa como varían estas magnitudes una vez iniciado el movimiento. Fíjate como cambian las gráficas al cambiar el signo de las magnitudes.

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

MOVIMIENTO VERTICAL

Un ejemplo de MRUA es el movimiento vertical. En este movimiento podemos considerar el movimiento de caída libre, el movimiento de lanzamiento vertical hacia abajo o el movimiento de lanzamiento vertical hacia arriba. En estos movimientos la aceleración es la aceleración de la gravedad, g = 9,8m/s², que podemos considerar constante en la superficie de la Tierra.

Sabemos que esto sólo es verdad en el vacío, o cuando la resistencia del aire sea nula. Para cuerpos pesados podemos considerar que la resistencia del aire es despreciable, pero no para cuerpos ligeros o de gran superficie, como una pluma o una hoja de papel. Pero si haces una bola con esa hoja de papel puedes comprobar que cae con la misma aceleración que los cuerpos pesados.

Universo Mecánico - 2 - La ley de caída de los cuerpos

Debemos definir en estos problemas el sistema de referencia. Podemos escoger cualquier punto como origen del sistema de referencia y cualquier sentido como positivo o negativo, pero esto va a condicionar el valor de las velocidades, distancias y aceleración. 

Puede ser muy útil escoger como origen del sistema de referencia el punto más bajo que alcanza el móvil, como el suelo. El eje vertical será el eje de alturas. Por encima del origen tenemos alturas positivas y por debajo del origen alturas negativas. Las velocidades hacia arriba son positivas, pues aumentan las posiciones, y las velocidades hacia abajo son negativas, pues disminuyen las posiciones. La aceleración tiene sentido vertical hacia abajo, pues aumentan en este sentido las velocidades, por tanto la aceleración tendrá signo negativo.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: CAÍDA LIBRE

EJERCICIO 7: En la simulación fija una cronografía, que te da el número de imágenes por segundo que se observan. Dale a soltar, y con el medidor de alturas confecciona la gráfica posición-tiempo. Representa la gráfica posición-tiempo con los datos obtenidos.

CONVENIO DE SIGNOS

De la misma forma es importante tener un criterio de signos claro. Tanto posiciones como velocidades y aceleraciones pueden ser positivas o negativas, debemos saber distinguirlas en cada caso. 

Las posiciones las representamos en un eje. A partir de un origen, nos podemos mover en un sentido o en sentido contrario. Arbitrariamente escogemos un sentido como positivo y el contrario como negativo. Como el origen de coordenadas lo podemos colocar donde queramos es muy útil colocarlo en un lugar que haga que todas las posiciones sean positivas, para evitar los números negativos.

Las velocidades pueden ser positivas o negativas. Teniendo en cuenta la ecuación de la velocidad, las velocidades que hagan que el móvil se aleje del origen de coordenadas serán positivas y las velocidades que hagan que el móvil se acerque al origen de coordenadas serán negativas. Trabajando con valores positivos de las posiciones, si el sentido del vector velocidad es alejarse del origen de coordenadas son positivas, si es acercarse al origen de coordenadas son negativas.

Las aceleraciones también pueden ser positivas o negativas. Teniendo en cuenta la ecuación de la aceleración, las aceleraciones tienen el mismo sentido que el aumento de la velocidad. Si la velocidad aumenta hacia abajo, la aceleración tiene sentido hacia abajo, tiene el mismo sentido. ¿Pero será positiva o negativa? Pues depende de dónde esté el origen de coordenadas. Si el origen de coordenadas está en el punto más bajo y la velocidad aumenta hacia el origen de coordenadas, las velocidades hacia abajo serán negativas y las velocidades hacia arriba positivas, como la aceleración tiene el mismo sentido que el aumento de velocidad, si la velocidad aumenta hacia abajo, y las velocidades hacia abajo son negativas, pues acercan el móvil al origen de coordenadas, la aceleración será también negativa. Pero si el origen de coordenadas está en un punto alto, y las posiciones debajo de este origen las consideramos positivas, las velocidades hacia abajo aumentan y son positivas, y la aceleración tiene este mismo sentido hacia abajo, y por tanto será positiva. Por eso es tan importante hacer un esquema del problema y ser consecuente con él. Recuerda que el signo de velocidades y aceleraciones sólo nos informa del sentido de estas magnitudes vectoriales.

Algunos casos los podemos representar en este esquema para movimientos horizontales y verticales.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: CAÍDA LIBRE, GRÁFICAS

EJERCICIO 8: En la simulación fija una posición inicial. Dibuja un esquema con las gráficas que se deben obtener. Dale a soltar, observa las gráficas y compáralas con las que has dibujado.

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS

La posición y velocidad en cada punto será la resultante de esas magnitudes en cada uno de los movimientos. Por eso debemos tener muy claro cuales son esos movimientos que se componen ya que cada uno tendrá sus respectivas ecuaciones.

Composición de dos MRU perpendiculares:

Se da por ejemplo cuando una barca cruza un río con corriente constante. Si la barca se desplaza perpendicularmente a la dirección de la corriente con velocidad constante, la posición de la barca y su velocidad se calculará a través de la composición de ambos movimientos.

v_x es la velocidad de la corriente y v_y la velocidad perpendicular de la barca. La velocidad v la calculamos en función de las componentes v_x e v_y.

El tiempo t que tarda la barca en cruzar el río lo calculamos a través del movimiento sobre el eje Y ya que conocemos el ancho del río.

Este mismo tiempo nos permite calcular la coordenada x, y con ésta la distancia r que recorre la barca para cruzar el río.

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: CRUZAR UN RÍO

EJERCICIO 9: En la simulación fija la velocidad de la corriente, la velocidad de la moto y la dirección de la proa. Si el ancho del río es 110m, calcula primero el tiempo que tarda en cruzar el río y la distancia río abajo a la que cruza. Luego confirma los resultados con la aplicación.

Movimiento parabólico:

Este movimiento se da cuando lanzamos un cuerpo con una dirección que no sea vertical. En vertical el movimiento es uniformemente acelerado y en horizontal es un movimiento uniforme.

Las posiciones y velocidades horizontales las calculamos a través de las ecuaciones del MRU, y las posiciones y velocidades verticales las calculamos a través de las ecuaciones del MRUA. Este movimiento tiene una aceleración que es g = −9,8m/s².

Para calcular el tiempo de vuelo utilizamos el movimiento vertical uniformemente acelerado, sabiendo que cuando llega al suelo y = 0.

Para calcular el alcance utilizamos el tiempo de vuelo en el movimiento horizontal uniforme.

Para calcular la altura máxima, y_max, Utilizamos el movimiento vertical uniformemente acelerado, sabiendo que en la altura máxima v_y = 0.

SIMULACIÓN UNIVERSIDAD DE COLORADO: MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL

SIMULACIÓN DE EDUCAPLUS: TIRO PARABÓLICO

EJERCICIO 10: En la simulación fija la velocidad y el ángulo con la horizontal. Calcula primero la altura máxima, el alcance y el tiempo de vuelo. Luego confirma los resultados con la aplicación.

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU): un movimiento es circular uniforme cuando la trayectoria es una circunferencia y la velocidad angular es constante.

Para describir este movimiento podemos utilizar la distancia sobre el arco o los ángulos que recorre el móvil. Los ángulos los podemos medir en grados sexagesimales o en radianes. 

Un radián es un ángulo cuyo arco equivale al radio.

¿A cuántos radianes equivale la circunferencia completa? Recuerda esta equivalencia.

En este movimiento podemos utilizar dos fórmulas para calcular la velocidad, una es la velocidad lineal en función del arco recorrido y otra es la velocidad angular en función del ángulo recorrido.

Velocidad lineal: es el cociente entre la distancia recorrida por el móvil sobre la circunferencia y el tiempo empleado.

Velocidad angular: es el cociente entre el ángulo girado por el móvil con respecto al centro de la circunferencia y el tiempo empleado.

De ella deducimos la ecuación del movimiento:

Equivalencia entre la velocidad lineal y angular

Universo Mecánico - 9 - El círculo en Movimiento

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO

Necesitamos otra ecuación para las posiciones angulares:

Estas ecuaciones son similares a las del MRUA con magnitudes angulares. Despejando el tiempo en la primera y sustituyéndolo en la segunda tenemos:

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Cuando un movimiento oscilatorio lo podemos representar por una función seno o coseno nos encontramos con un movimiento que llamamos armónico. Dentro de estos movimientos estudiaremos el Movimiento Armónico Simple (MAS), que se ajusta a muchos movimientos que encontramos en la naturaleza. 

Cuando un móvil se desplaza sobre el eje X oscilando sobre el origen de coordenadas se dice que describe un movimiento armónico simple cuando su posición viene dada por la siguiente función:

x es la elongación, nos da la posición del móvil en cualquier instante t.

A es la amplitud, es el valor de la elongación máxima.

φ y φ₀ son la fase y la fase inicial, se miden en radianes. φ=ω·t+φ₀.

ω es la frecuencia angular, se mide en rad/s. Está relacionada con otras dos magnitudes importantes: ω=2π/T=2π·f

T es el período. Tiempo correspondiente a una oscilación completa. Se mide en segundos.

f es la frecuencia. Representa el número de oscilaciones por segundo. Se mide en hertzs o s^-1.

Imaginemos un cuerpo que oscila entre dos posiciones A y -A.

La velocidad la calculamos derivando la función que nos da la posición.

Como el sen o el cos oscilan entre +1 y -1, el valor máximo que puede alcanzar la velocidad es:

Podemos encontrar una expresión que nos relaciona la velocidad con la elongación:

Para calcular la aceleración derivamos la función de la velocidad: